Question

【題目】如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過與軸垂直的直線交橢圓于點(diǎn)，且

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)，問是否存在直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，且的垂直平分線恰好過點(diǎn)？若存在，求出直線斜率的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題（1）直接依據(jù)定義求得橢圓的長軸長，又右焦點(diǎn)為，從而得到其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）本題需分與軸垂直和不垂直兩種情況簡單討論，當(dāng)不垂直時(shí)，可設(shè)的方程為，聯(lián)立橢圓方程，轉(zhuǎn)化為一元二次方程方程有兩解問題求得斜率取值范圍．

試題解析：（1） 連接，在中，，，∴

∴ 由橢圓定義可知即，又，從而，

∴ 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2） 由題意可知，若的垂直平分線恰好過點(diǎn)，則有，

當(dāng)與軸垂直時(shí)，不滿足；當(dāng)與軸不垂直時(shí)，

設(shè)的方程為，由，消得，

∵，

∴，①式

令，，的中點(diǎn)為，則

∴，，

∴， 又∵，

∴即，化簡得，

結(jié)合①式得，即，解之得：，

綜上所述，存在滿足條件的直線，且其斜率的取值范圍為.