Question

【題目】【2017莊河高級(jí)中學(xué)四模】如圖，四棱錐中，底面是矩形，平面 平面，且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形， ，點(diǎn)是的中點(diǎn).

（1）求證： 平面 ；

（2）求四面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：

(1)利用題意證得，然后結(jié)合線(xiàn)面平行的判斷定理即可證得結(jié)論；

(2)利用題意轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)即可求得四面體的體積為 .

試題解析：

解：(1)如圖，接連 交于點(diǎn)， 連 ，因?yàn)?/span>是矩形，所以點(diǎn)是 的中點(diǎn)，又點(diǎn) 是 的中點(diǎn)， ，又 平面 平面 ，所以平面.

(2)如圖，取 的中點(diǎn)，連接 ，則 ，又平面 底面，平面 底面 ，故平面，連接 ，在 中， ，所以在 中， ，故四面體 的體積為 ，又因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn) ，所以點(diǎn)到平面的距離等于 ，故四面體的體積為，故四面體的體積為 .