Question

【題目】已知圓O：，直線l：．

若直線l與圓O交于不同的兩點A，B，當時，求實數k的值；

若，P是直線上的動點，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點分別為C、D，試探究：直線CD是否過定點若存在，請求出定點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）過定點

【解析】

⑴運用弦長公式結合計算出圓心到直線的距離，即可求出斜率

⑵解法1：設切點，，求出兩條切線方程，計算出直線的方程，從而得到定點坐標；解法2：、、、四點共圓且在以為直徑的圓上，求出公共弦所在直線方程，然后再求定點坐標

（1），設到的距離為，則

點到的距離.

（2）解法1：設切點，，則圓在點處的切線方程為

，所以，即.

同理，圓在點處的切線方程為，

又點是兩條切線的交點，，，

所以點的坐標都適合方程，

上述方程表示一條直線，而過、兩點的直線是唯一的，

所以直線的方程為.

設，則直線的方程為，

即，由得，

故直線過定點.

解法2：由題意可知：、、、四點共圓且在以為直徑的圓上，

設，則此圓的方程為：.

即：

又、在圓上，

兩圓方程相減得

即，由得，

故直線過定點.