Question

（2013•深圳二模）下列函數中，在其定義域內既是奇函數又是增函數的是（　　）

A．y=2^x

B．y=sinx

C．y=log₂x

D．y=x|x|

Answer 1

分析：根據指數函數、對數函數都是非奇非偶函數，得到A、C兩項不符合題意；根據正弦函數y=sinx在其定義域內既有增區間也有減區間，得到B項不符合題意；因此只有D項符合，再用函數奇偶性、單調性的定義加以證明，即可得到正確答案．

解答：解：對于A，因為指數函數在其定義域上是非奇非偶函數，
所以函數y=2^x不符合題意，故A不正確；
對于B，因為函數y=sinx在其定義域內既有增區間也有減區間，
所以函數y=sinx不符合題意，故B不正確；
對于C，因為對數函數的定義域為（0，+∞），
所以函數y=log₂x是非奇非偶函數，得C不正確；
對于D，設f（x）=x|x|，可得f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x）
所以函數y=x|x|是奇函數；
又∵當x≥0時，y=x|x|=x²，在（0，+∞）上是增函數，
且當x＜0時，y=x|x|=-x²，在（-∞，0）上是增函數
∴函數y=x|x|是R上的增函數
因此，函數y=x|x|是奇函數，且在其定義域內是函數，可得D正確
故選：D

點評：本題給出幾何基本初等函數，要我們找出其中單調增的奇函數，著重考查了基本初等函數的單調性、奇偶性及其判斷方法的知識，屬于基礎題．