Question

【題目】某汽車美容公司為吸引顧客，推出優惠活動：對首次消費的顧客，按200元/次收費，并注冊成為會員，對會員逐次消費給予相應優惠，標準如表：

消費次第	第1次	第2次	第3次	第4次	≥5次
收費比例	1	0.95	0.90	0.85	0.80

該公司從注冊的會員中，隨機抽取了100位進行統計，得到統計數據如表：

消費次第	第1次	第2次	第3次	第4次	第5次
頻數	60	20	10	5	5

假設汽車美容一次，公司成本為150元，根據所給數據，解答下列問題：
（1）估計該公司一位會員至少消費兩次的概率；
（2）某會員僅消費兩次，求這兩次消費中，公司獲得的平均利潤；
（3）設該公司從至少消費兩次，求這的顧客消費次數用分層抽樣方法抽出8人，再從這8人中抽出2人發放紀念品，求抽出2人中恰有1人消費兩次的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：100位會員中，至少消費兩次的會員有40人，所以估計一位會員至少消費兩次的概率為p= =0.4．
（2）解：該會員第1次消費時，公司獲得利潤為200﹣150=50（元），

第2 次消費時，公司獲得利潤為200×0.95﹣150=40（元），

所以，公司這兩次服務的平均利潤為 （元）．

（3）解：至少消費兩次的會員中，消費次數分別為1，2，3，4，5的比例為20：10：5：5=4：2：1：1，所以

抽出的8人中，消費2次的有4人，設為A1，A2，A3，A4，消費3次的有2人，設為B1，B2，消費4次和5次的各有1人，分別設為C，D，從中取2人，取到A1的有：A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1C，A1D 共7種；

去掉A1后，取到A2的有：A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2C，A2D 共6種；

去掉A1，A2，A3，A4，B1，B2，后，取到C的有：CD 共1種，總的取法有n=7+6+5+4+3+2+1=28種，

其中恰有1人消費兩次的取法共有：m=4+4+4+4=16種，

所以，抽出2人中恰有1人費兩次的概率為p= ．

【解析】（1）至少消費兩次的會員有40人，根據概率公式p= =0.4．（2）分別求出兩次消費為公司獲得的利潤，然后求平均值即可；（3）根據古典概型的概率求法，利用枚舉法求解．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解分層抽樣的相關知識，掌握先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或層次，然后再在各個類型或層次中采用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的樣本．