Question

對(duì)于函數(shù)，若在定義域存在實(shí)數(shù)，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)”．
（1）已知二次函數(shù)，試判斷是否為“局部奇函數(shù)”？并說(shuō)明理由；
（2）設(shè)是定義在上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）是“局部奇函數(shù)”；（2）.

試題分析：（1）本題實(shí)質(zhì)就是解方程，如果這個(gè)方程有實(shí)數(shù)解，就說(shuō)明是“局部奇函數(shù)”，如果這個(gè)方程無(wú)實(shí)數(shù)解，就說(shuō)明不是“局部奇函數(shù)”，易知有實(shí)數(shù)解，因此答案是肯定的；（2）已經(jīng)明確是“局部奇函數(shù)”，也就是說(shuō)方程一定有實(shí)數(shù)解，問(wèn)題也就變成方程在上有解，求參數(shù)的取值范圍，又方程可變形為，因此求的取值范圍，就相當(dāng)于求函數(shù)的值域，用換元法（設(shè)），再借助于函數(shù)的單調(diào)性就可求出.
試題解析：(1)為“局部奇函數(shù)”等價(jià)于關(guān)于的方程有解．
即（3分）
有解為“局部奇函數(shù)”．（5分）
(2)當(dāng)時(shí), 可轉(zhuǎn)化為（8分）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042143029447.png" style="vertical-align:middle;" />的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042143123326.png" style="vertical-align:middle;" />,所以方程在上有解,令,（9分）
則
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042143700596.png" style="vertical-align:middle;" />在上遞減,在上遞增,（11分）
（12分）
即（14分）