Question

已知函數，其中a為大于零的常數．
（I）若函數f（x）在區間[1，+∞）內單調遞增，求a的取值范圍；
（II）設函數，若存在x₀∈[1，e]，使不等式g（x₀）≥lnx₀成立，求實數p的取值范圍．（e為自然對數的底）

Answer 1

解：（I）f′（x）=（x＞0），令f′（x）=0，得x=，
所以在（0，]上f′（x）≤0，在[，+∞）上f′（x）≥0，
所以f（x）在（0，]上單調遞減，在[，+∞）上單調遞增，
因為函數f（x）在區間[1，+∞）內單調遞增，
所以，又a＞0，所以a≥1，
所以所求實數a的取值范圍為[1，+∞）；
（II）存在x₀∈[1，e]使g（x₀）≥lnx₀，即存在x₀∈[1，e]使p≥+x₀成立，
令h（x）=（lnx-1）e^x+x，從而p≥h_min（x）（x∈[1，e]），
h′（x）=（）e^x+1，
由（I）知當a≥1且x≥1時，f（x）=lnx+≥f（1）=0成立，
所以-1≥0在[1，e]上成立，
所以h′（x）=+1≥1+1＞0，
所以h（x）=（lnx-1）e^x+x在[1，e]上單調遞增，
所以h_min（x）=h（1）=1-e，
所以p≥1-e．
分析：（I）求導數f′（x），利用導數求出f（x）的增區間，由f（x）在區間[1，+∞）內單調遞增，得[1，+∞）為f（x）增區間的子集，由此得不等式，解出即可；
（II）存在x₀∈[1，e]使g（x₀）≥lnx₀，即存在x₀∈[1，e]使p≥+x₀成立，令h（x）=（lnx-1）e^x+x，從而p≥h_min（x）（x∈[1，e]），由（I）可判斷h′（x）＞0，從而h（x）在[1，e]上遞增，進而得h（x）的最小值，從而問題可解；
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、最值，考查轉化思想，要準確理解“恒成立問題”與“能成立問題”的區別聯系并能恰當轉化．