Question

（1）（矩陣與變換）已知二階矩陣M=

0 -1 2 3

．
（Ⅰ）求矩陣M的逆矩陣；
（Ⅱ）設向量

α

=

-1 3

，求M100

α

．
（2）（坐標系與參數方程）
已知曲線C₁的參數方程為

x=1+2cosθ y=-1+2sinθ

（θ是參數），曲線C₂的極坐標方程為θ=

π

4

（ρ∈R）．
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的平面直角坐標方程；
（Ⅱ）設曲線C₁和曲線C₂相交于A，B兩點，求弦長|AB|．

Answer 1

分析：（1）（Ⅰ）二階矩陣M=

0 -1 2 3

．由（M|I）=

0 -1 2 3

.

1 0 0 1

→

2 3 0 -1

.

0 1 1 0

→

1 0 0 1

.

3 2 1 2 -1 0

，能求出M-1=

3 2 1 2 -1 0

．
（Ⅱ）由特征值λ₁=1，λ₂=2，特征向量

ξ1

=

1 -1

，

ξ2

=

-1 2

，知

α

=

ξ1

+2

ξ2

，由此能求出M100

α

．
（2）（Ⅰ）由線C₁的參數方程為

x=1+2cosθ y=-1+2sinθ

（θ是參數），曲線C₂的極坐標方程為θ=

π

4

（ρ∈R），能求出曲線C₁的普通方程和曲線C₂的平面直角坐標方程．
（Ⅱ）由圓心（1，-1）到直線y=x的距離d=

|1+1|

2

=

2

，圓半徑r=2，能求出弦長|AB|．

解答：解：（1）（Ⅰ）∵二階矩陣M=

0 -1 2 3

．
∴（M|I）=（

0 -1 2 3

|

1 0 0 1

）→（

2 3 0 -1

.

0 1 1 0

）
→

1 3 2 0 -1

.

0 1 2 1 0

→

1 0 0 1

.

3 2 1 2 -1 0

，
∴M-1=

3 2 1 2 -1 0

；
（Ⅱ）∵特征值λ₁=1，λ₂=2，
特征向量

ξ1

=

1 -1

，

ξ2

=

-1 2

，
所以

α

=

ξ1

+2

ξ2

，
所以M100

α

=M100(

ξ1

+2

ξ2

)=λ1100

ξ1

+2λ2100

ξ2

=

1-2101 -1+2102

．
（2）（Ⅰ）∵線C₁的參數方程為

x=1+2cosθ y=-1+2sinθ

（θ是參數），
曲線C₂的極坐標方程為θ=

π

4

（ρ∈R）．
曲線的普通方程C1：(x-1)2+(y+1)2=4，
曲線C₂的普通方程：y=x；
（Ⅱ）∵圓心（1，-1）到直線y=x的距離d=

|1+1|

2

=

2

，
圓半徑r=2，
∴弦長|AB|=2

4-2

=2

2

．

點評：第（1）題考查逆矩陣的求法和特征根、特征值的求法；第（2）題考查曲線的參數方程的應用和弦長的計算．是基礎題，解題時要認真審題，仔細解答．