Question

選做題：（本小題共3小題，請從這3題中選做2小題，如果3題都做，則按所做的前兩題記分，每小題7分．）
（1）（矩陣與變換）在直角坐標系中，已知△ABC的頂點坐標為A（0，0）、B（1，1）、C（0，2），矩陣M=

0 1 1 0

，N=

0 -1 1 0

，求△ABC在矩陣MN作用下變換所得的圖形的面積；
（2）（坐標系與參數方程）極坐標系下，求直線ρcos(θ+

π

3

)=1與圓ρ=

2

的公共點個數；
（3）（不等式）已知x+2y=1，求x²+y²的最小值．

Answer 1

分析：（1）由矩陣的乘積可求MN然后可在△ABC內任意取一點（x，y）則根據變換的定義可得點（x，y）在MN矩陣的變換下得到點（x，-y）結合對稱性可求．
（2）利用兩角和的余弦公式可將直線ρcos(θ+

π

3

)=1化為

1

2

ρcosθ+

3

2

ρsinθ=1，再結合極坐標的定義x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ=

x2+y2

可得直線和圓的普通方程分別為x-

3

y-2=0，x²+y²=2而要考查直線和圓的公共點得個數只需判斷圓心到直線的距離和半徑的大小即可．
（3）結合題設和要求的結果聯想到要利用柯西不等式（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²當且僅當ac=bd時等號成立．

解答：解：（1）∵MN=

0 1 1 0

0 -1 1 0

=

1 0 0 -1

∴

1 0 0 -1

x y

=

x -y

∴在矩陣MN的作用下，一個圖形變換為與之關于x軸對稱的圖形，
因此△ABC在矩陣MN作用下變換所得到的圖形與△ABC全等，從而其面積等于△ABC的面積，即為1．
（2）ρcos(θ+

π

3

)=1的普通方程為x-

3

y-2=0，ρ=

2

的普通方程為x²+y²=2
則圓心到直線的距離為d=1＜r=

2

，所以直線和圓相交，故有兩個交點．
（3）∵1=x+2y≤

(12+22)(x2+y2)

∴

x2+y2

≥

1

5

∴x2+y2≥

1

5

，當且僅當：

1

x

=

2

y

，即y=2x時取等號，
∴x+4x=5x=1
∴x=

1

5

，y=

2

5

時，x²+y²的最小值為

1

5

．

點評：第一題考查了矩陣的變換，關鍵是的分析出三角形在矩陣MN的變換下得出的是什么圖形．第二題考查了極坐標的有關知識和直線和圓的位置關系的判定，解此題的關鍵是要會借助x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ=

x2+y2

將直線和圓的極坐標方程化為普通方程然后利用圓心到直線的距離公式求出圓心到直線的距離再與圓的半徑作大小比較即可得解．