Question

若函數f（x）在定義域D內某區間I上是增函數，而F(x)=

f(x)

x

在I上是減函數，則稱y=f（x）在I上是“弱增函數”
（1）請分別判斷f（x）=x+4，g（x）=x²+4x在x∈（1，2）是否是“弱增函數”，并簡要說明理由．
（2）證明函數h（x）=x²+a²x+4（a是常數且a∈R）在（0，1]上是“弱增函數”．

Answer 1

分析：（1）利用“弱增函數”的定義逐個判斷即可；
（2）按“若增函數”的定義需證明兩條：①證明h（x）在（0，1]上是增函數；②證明

h(x)

x

在（0，1]上是減函數．

解答：解：（1）由于f（x）=x+4在（1，2）上是增函數，且F（x）=

f(x)

x

=1+

4

x

在（1，2）上是減函數，
所以f（x）=x+4在（1，2）上是“弱增函數”，g（x）=x²+4x在（1，2）上是增函數，但

g(x)

x

=x+4在（1，2）上不是減函數，
所以g（x）=x²+4x+2在（1，2）上不是“弱增函數”．
（2）因為h（x）=x²+a²•x+4的對稱軸為x=-

a2

2

≤0，開口向上，所以h（x）在（0，1]上是增函數．
下面證明函數F（x）=

h(x)

x

=x+

4

x

+a2在（0，1]上是減函數．
設0＜x₁＜x₂≤1，
則F(x1)-F(x2)=(x1+

4

x1

+a2)-(x2+

4

x2

+a2)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂≤1，∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，
∴F(x1)-F(x2)=

(x1-x2)(x1x2-b)

x1x2

＞0，即F（x₁）＞F（x₂）．
所以F（x）在（0，1]上單調遞減，
所以h（x）在（0，1]上是“弱增函數”；

點評：本題主要考查函數單調性的判斷及證明，考查對新問題的理解分析及解決能力．