Question

【題目】已知橢圓方程()的離心率為, 短軸長為2.

(1) 求橢圓的標準方程；

(2) 直線()與軸的交點為(點不在橢圓外), 且與橢圓交于兩個不同的點. 若線段的中垂線恰好經過橢圓的下端點, 且與線段交于點, 求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】

利用橢圓方程()的離心率為，短軸長為，求出，即可求得橢圓的標準方程

求出線段的中點的坐標，表示出的面積，運用導數求出最值

(1) , 因此橢圓的標準方程為.

(2) 易得點的坐標為, 點的坐標為. 設,的坐標分別為, .

聯立, 得, 從而.

易知線段的中點的橫坐標為,

縱坐標為.

因此, 點的坐標為.

由題意知: , 即, 從而.

因為直線與橢圓有兩個不同的交點, 所以, 即. 從而有, 即. 又知, 因此. 由點不在橢圓之外知, . 綜上知, .

故線段的長度可表示為, 點到線段的距離可表示為. 進而的面積可表示為

令, 則, 即在上單調遞增.

從而,所以面積的最大值為.

注: 的面積也可用表示為 (), 關于單調遞增, 從而, 所以,

所以面積的最大值為.