Question

【題目】已知函數 ，其中a∈R．
（1）根據a的不同取值，討論f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）已知a＞0，函數f（x）的反函數為f﹣1（x），若函數y=f（x）+f﹣1（x）在區間[1，2]上的最小值為1+log23，求函數f（x）在區間[1，2]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

∴f（﹣x）=﹣ax+log2（2﹣x+1）

=﹣ax+log2（2x+1）﹣log22x

=﹣ax+log2（2x+1）﹣x，

∴f（﹣x）=f（x），

即﹣ax﹣x=ax，

故a= ；此時函數為偶函數，

若a≠﹣ ，函數為非奇非偶函數

（2）解：∵a＞0，

∴ 單調遞增，

又∵函數f（x）的反函數為f﹣1（x），

∴f﹣1（x）單調遞增；

∴f（1）+f﹣1（1）=1+log23，

即a+log23+f﹣1（1）=1+log23，

故f﹣1（1）=1﹣a，

即a（1﹣a）+log2（2a﹣1+1）=1，

解得，a=1；

故f（2）=2+log25

【解析】（1）由 得f（﹣x）=﹣ax+log2（2x+1）﹣x，從而可得當a= 時函數為偶函數； （2）可判斷 與f﹣1（x）都是增函數，從而可得f（1）+f﹣1（1）=1+log23，從而解出a．
【考點精析】本題主要考查了函數的最值及其幾何意義的相關知識點，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值才能正確解答此題．