Question

已知f(x)=

ax2+2

b-3x

是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，f(2)=-

5

3

．
（1）求a，b的值；
（2）請用函數單調性的定義說明：f（x）在區間（1，+∞）上的單調性；
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由f（-x）=-f（x）可求b，f(2)=-

5

3

，可求a；
（2）利用函數單調性的定義任取1＜x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），判斷符號；
（3）利用函數單調性與奇偶性即可求得f（x）的值域．

解答：解：（1）由f（-x）=-f（x）得：b=0，由f(2)=-

5

3

得a=2…..（4分）
（2）f(x)=-

2

3

(x+

1

x

)在（1，+∞）上為減函數．
證明：任取1＜x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=-

2

3

(x1-x2)(1-

1

x1x2

)＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上為減函數…（8分）
（3）同理，f（x）在（0，1）遞增∴x＞0時，f(x)≤f(1)=-

4

3

，
又f（x）為奇函數，∴x＜0時f(x)≥

4

3

，
綜上所述，f（x）的值域為(-∞，-

4

3

]∪[

4

3

，+∞)…（11分）

點評：本題考查函數奇偶性與單調性，重點考查學生理解函數奇偶性單調性及靈活應用之求值域，解決的方法是特值法與函數單調性的定義法，屬于中檔題．