Question

學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng)．（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）
（Ⅰ）求在1次游戲中，
（i）摸出3個(gè)白球的概率；
（ii）獲獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析：（I）（i）甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，事件數(shù)是C₅²C₃²，摸出3個(gè)白球事件數(shù)為
C₃²C₂¹C₂¹；由古典概型公式，代入數(shù)據(jù)得到結(jié)果，（ii）獲獎(jiǎng)包含摸出2個(gè)白球和摸出3個(gè)白球，且它們互斥，根據(jù)（i）求出摸出2個(gè)白球的概率，再相加即可求得結(jié)果，注意運(yùn)算要正確，因?yàn)榈诙��?wèn)要用本問(wèn)的結(jié)果．（II）連在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的取值是0、1、2，根據(jù)上面的結(jié)果，代入公式得到結(jié)果，寫(xiě)出分布列，求出數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）（i）設(shè)“在一次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件A_i（i=，0，1，2，3），則
P（A₃）=

c 2 3

c 2 5

•

c 1 2

c 2 3

= 

1

5

，
（ii）設(shè)“在一次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件B，則B=A₂∪A₃，又
P（A₂）=

c 2 3

c 2 5

•

c 2 2

c 2 3

+

c 1 3 c 1 2

c 2 5

•

c 1 2

c 2 3

=

1

2

，
且A₂、A₃互斥，所以P（B）=P（A₂）+P（A₃）=

1

2

+

1

5

=

7

10

；
（Ⅱ）由題意可知X的所有可能取值為0，1，2．
P（X=0）=（1-

7

10

）²=

9

100

，
P（X=1）=C₂¹

7

10

（1-

7

10

）=

21

50

，
P（X=2）=（

7

10

）²=

49

100

，
所以X的分布列是


X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0×

9

100

+1×

21

50

+2×

49

100

=

7

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．本題考查古典概型及共概率計(jì)算公式，離散型隨機(jī)變量的分布列數(shù)學(xué)期望、互斥事件和相互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．