Question

在斜三棱柱中，平面平面ABC，，，.
（1）求證：；
（2）若，求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

試題分析：本題主要考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、線線平行、三棱錐的體積等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問，利用面面垂直的性質得BC⊥平面A₁ACC₁，則利用線面垂直的性質得A₁A⊥BC，由A₁B⊥C₁C，利用平行線A₁A∥C₁C，則A₁A⊥A₁B，利用線面垂直的判定得A₁A⊥平面A₁BC，則利用線面垂直的性質得A₁A⊥A₁C；第二問，由于為等腰三角形，平面. A₁ACC₁⊥平面ABC，所以中邊AC上的高為斜三棱柱的高，而三棱錐與三棱錐的體積相等.
（1）因為平面A₁ACC₁⊥平面ABC，AC⊥BC，所以BC⊥平面A₁ACC₁，
所以A₁A⊥BC．
因為A₁B⊥C₁C，A₁A∥C₁C，所以A₁A⊥A₁B，又BC∩A₁B＝B，
所以A₁A⊥平面A₁BC，又A₁CÌ平面A₁BC，所以A₁A⊥A₁C．  5分

（2）由已知及（1），△A₁AC是等腰直角三角形，AA₁＝A₁C＝2，AC＝．
因為平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
所以Rt△A₁AC斜邊上的高等于斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高，且等于． 7分
在Rt△ABC中，AC＝BC＝，S_△ABC＝AC·BC＝4，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V＝S_△ABC·＝．    10分
又三棱錐A₁-ABC與三棱錐C-A₁B₁C₁的體積相等，都等于V，
所以三棱錐B₁-A₁BC的體積V₁＝V－2×V＝．    12分