Question

【題目】已知二次函數f(x)＝x2－16x＋q＋3.

(1)若函數在區間[－1,1]上存在零點，求實數q的取值范圍；

(2)是否存在常數t(t≥0)，當x∈[t,10]時，f(x)的值域為區間D，且區間D的長度為12－t(視區間[a，b]的長度為b－a)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由二次函數的單調性易得 ，解關于的不等式組可得．
（2）分，最大值是最大值是三種情況進行討論，對于每一種情況，由區間長度是求出12-t的值，驗證范圍后即可得到答案．

(1)∵函數f(x)＝x2－16x＋q＋3的對稱軸是x＝8，∴f(x)在區間[－1,1]上是減函數．

∵函數在區間[－1,1]上存在零點，則必有即∴－20≤q≤12.

(2)∵0≤t<10，f(x)在區間[0,8]上是減函數，在區間[8,10]上是增函數，且對稱軸是x＝8.

①當0≤t≤6時，在區間[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小，

∴f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0，

解得t＝，∴t＝；

②當6<t≤8時，在區間[t,10]上，f(10)最大，f(8)最小，

∴f(10)－f(8)＝12－t，解得t＝8；

③當8<t<10時，在區間[t,10]上，f(10)最大，f(t)最小，

∴f(10)－f(t)＝12－t，即t2－17t＋72＝0，解得t＝8,9，

∴t＝9.

綜上可知，存在常數t＝，8,9滿足條件.