Question

【題目】已知函數（）．

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）設，若函數在上為減函數，求實數的最小值；

（3）若存在，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）在遞增，在遞減．（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）先求函數導數，確定導函數零點1，列表分析導函數符號變化規律，確定函數單調區間（2）由題意得在恒成立，即利用變量分離轉化為對應函數最值：的最大值，而可視作一個二次函數，根據對稱軸與定義區間位置關系得最值（3）不等式存在性問題，一般利用變量分離轉化為對應函數最值問題：，設，則，所以，也可分類討論

試題解析：（1）時，，，

令，解得，令，解得，

∴在遞增，在遞減．

（2）由已知得，函數的定義域為，

函數在上為減函數，∴在恒成立，

即在恒成立．

令，則，得到在恒成立，得，即的最小值為．

（3）若存在，使得成立，

問題等價于：存在，使得成立，

問題等價于：“當時，有”，且，

∵，結合（2）知：當時，．

①當時，在上恒成立，即在上單調遞減，

則，得到成立．

②當時，不滿足題意，綜上