Question

定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的上界.

已知函數；.

（1）當時，求函數在上的值域，并判斷函數在上是否為有界函數，請說明理由；

（2）若函數在上是以3為上界的有界函數，求實數的取值范圍；

（3）若，函數在上的上界是，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）在的值域為，故不存在常數，使成立

所以函數在上不是有界函數。

（2）實數的取值范圍為。

（3）當時，的取值范圍是；

當時，的取值范圍是

【解析】[解]：（1）當時， 

因為在上遞減，所以，即在的值域為

故不存在常數，使成立

所以函數在上不是有界函數。   ……………4分（沒有判斷過程，扣2分）

（2）由題意知，在上恒成立。………5分

，          

∴   在上恒成立………6分

∴    ………7分

設，，，由得 t≥1，

設，

所以在上遞減，在上遞增，………9分（單調性不證，不扣分）

在上的最大值為，  在上的最小值為 

所以實數的取值范圍為。…………………………………11分

（3），∵   m>0  ，      ∴  在上遞減，…12分

∴       即………13分

①當，即時，， ………14分

此時  ，………16分②當，即時，，

此時  ，   ---------17分

綜上所述，當時，的取值范圍是；

當時，的取值范圍是………18分