Question

【題目】我們國家正處于老齡化社會中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有戶籍人口400萬，其中老人（年齡60歲及以上）人數約有66萬，為了解老人們的健康狀況，政府從 老人中隨機抽取600人并委托醫療機構免費為他們進行健康評估，健康狀況共分為不能 自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個等級，并以80歲為界限分成兩個群體進行 統計，樣本分布被制作成如圖表：
（1）若采取分層抽樣的方法再從樣本中的不能自理的老人中抽取16人進一步了解他們的生活狀況，則兩個群體中各應抽取多少人？
（2）估算該市80歲及以上長者占全市戶籍人口的百分比；
（3）據統計該市大約有五分之一的戶籍老人無固定收入，政府計劃為這部分老人每月發 放生活補貼，標準如下：①80歲及以上長者每人每月發放生活補貼200元；②80歲以下 老人每人每月發放生活補貼120元；③不能自理的老人每人每月額外發放生活補貼100 元．試估計政府執行此計劃的年度預算．

Answer 1

【答案】
（1）解：數據整理如下表：

健康狀況	健康	基本健康	不健康尚能自理	不能自理
80歲及以上	20	45	20	15
80歲以下	200	225	50	25

從圖表中知不能自理的80歲及以上長者占比為： = ，

故抽取16人中不能自理的80歲及以上長者人數為16× =6.80歲以下長者人數為10人

（2）解：在600人中80歲及以上長者在老人中占比為： = ，

用樣本估計總體，80歲及以上長者共有 萬，

80歲及以上長者占戶籍人口的百分比為 100%=2.75%

（3）解：用樣本估計總體，設任一戶籍老人每月享受的生活補助為X元，

P（X=0）= ，P（X=120）= × = ，P（X=200）= = ，

P（X=220）= = ，P（X=300）= = ，

則隨機變量X的分布列為：

X	0	120	200	220	300
P

EX=0× +120× +200× +220× +300× =28，

全市老人的總預算為28×12×66×104=2.2176×108元．

政府執行此計劃的年度預算約為2.2176億元

【解析】（Ⅰ）數據整理如下表：

健康狀況	健康	基本健康	不健康尚能自理	不能自理
80歲及以上	20	45	20	15
80歲以下	200	225	50	25

利用頻率計算公式即可得出．（Ⅱ）在600人中80歲及以上長者在老人中占比為： ，用樣本估計總體，80歲及以上長者共有 萬，即可得出80歲及以上長者占戶籍人口的百分比．（Ⅲ）用樣本估計總體，設任一戶籍老人每月享受的生活補助為X元，P（X=0）= ，P（X=120）= × ，P（X=200）= ，P（X=220）= ，P（X=300）= ，及其數學期望．