Question

已知函數f（x）=sinx+cosx，給出以下四個命題：①函數f（x）的圖象可由y=

2

sinx的圖象向右平移

π

4

個單位而得到；②直線x=

π

4

是函數f（x）圖象的一條對稱軸；③在區間[

π

4

，

5π

4

]上，函數f（x）是減函數；④函數g（x）=f（x）•sinx的最小正周期是π．其中所有正確的命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：先對函數進行化簡為y=A（wx+ρ）的形式，根據左右平移的左加右減原則可判斷①；求出函數f（x）的最大值可判斷②；求出函數的單調遞減區間然后令k=0可判斷③；根據二倍角公式整理函數g（x）的解析式，求出最小正周期可判斷④．

解答：解：∵f（x）=sinx+cosx∴f（x）=

2

sin（x+

π

4

）
將y=

2

sinx的圖象向右平移

π

4

個單位得到y=

2

sin（x-

π

4

）≠f（x）=

2

sin（x+

π

4

）．①不正確；
f（

π

4

）=

2

sin（

π

2

）=

2

為函數f（x）的最大值，故②正確；
令

π

2

+2kπ≤x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，∴

π

4

+2kπ≤x≤

5π

4

+2kπ
當k=0時，

π

4

≤x≤

5π

4

函數f（x）單調遞減，故③正確；
g（x）=f（x）•sinx=sin²x+sinxcosx=

1

2

+

3

2

sin(2x-

π

4

)
∴T=

2π

2

=π，故④正確
故答案為：②③④

點評：本題主要考查三角函數的兩角和與差的正弦公式、最小正周期的求法、二倍角公式．三角函數部分公式比較多，容易記混，要強化記憶．