Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AB=AC，F為BB₁上一點，BF=BC=2，FB₁=1，D為BC中點，E為線段AD上不同于A、D的任意一點，
（1）證明：EF⊥FC₁；
（2）若AB=

2

，是否存在點E滿足EF與平面FA₁C₁所成角為arcsin

30

6

，若存在，求點E到平面A₁C₁CA的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意先證明AD⊥面B₁BCC₁，得AD⊥C₁F；再利用Rt△DBF 1≌Rt△FB1C證明C₁F⊥FD，可得C₁F⊥面DEF；即可得證；
（2）先假設存在，建立坐標系求出平面FA₁C₁的法向量，利用向量數量積列出EF與平面FA₁C₁所成角的余弦值求解即可．

解答：解：（1）∵AB=AC，D為BC中點，∴AD⊥BC
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱錐，∴B₁B⊥面ABC
∴BB₁⊥AD，BC∩BB₁=B，
∴AD⊥面B₁BCC₁，C₁F?面B₁BCC₁
∴AD⊥C₁F；∵BC=BF=2，∴DB=1，又∵FB₁=1
∴Rt△DBF 1≌Rt△FB1C，∴∠DBF+∠C₁FB₁=

π

2

，
∴∠DFC₁=

π

2

∴C₁F⊥FD，
∴C₁F⊥面DEF，∴C₁F⊥EF
（2）以A₁為坐標原點，A₁B₁、A₁C₁、A₁A所在直線為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，
∴

A1C1

=（0，

2

，0），

A1F

=（

2

，0，1），
設面A₁FC₁的法向量為

n

=（x，y，z），則有

n

•

A1C1

=0，

n

•

A1F

=0可得

n

=（1，0，-

2

），D（

2

2

，

2

2

，3）
設E（

2

2

t，

2

2

t，3）（0＜t＜1），
∴

FE

=（

2

2

t-

2

，

2

2

t，2），由已知

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=

| n • FE |

| n |•| FE |

．
整理得2t²+t-3=0，解之得t=-

3

2

或t=1
∴不存在合適的點E．

點評：本題先根據線面垂直的定義和判定定理證明線線垂直；對于線面角問題用向量求解要簡單，此題需要
根據題意列出滿足題意的式子求解，判斷是否存在合適的點．