Question

【題目】已知直線：和圓：.

（1）求證：直線恒過一定點；

（2）試求當為何值時，直線被圓所截得的弦長最短；

（3）在（2）的前提下，直線是過點，且與直線平行的直線，求圓心在直線上，且與圓相外切的動圓中半徑最小圓的標準方程.

Answer 1

【答案】（1）； （2）；（3）.

【解析】

（1）通過直線l轉化為直線系，求出直線恒過的定點；

（2）當直線與垂直時，所截得的弦長最短，此時有=-1，由此能出m的值;

（3）由（2）得直線的方程為，可判斷出直線與圓相離，設動圓圓心為，當圓心到圓心的距離最小時，動圓的半徑最小，從而得到最小圓的標準方程.

（1）證明：直線的方程可化為：.

解方程組，得.

所以，直線恒過定點.

（2）解：圓：的標準方程為，

表示以為圓心，為半徑的圓，

，，

∴在圓內，那么對任意都有直線與圓相交.

當直線與垂直時，所截弦長最短.

又直線的斜率，∴此時直線的斜率為.

即，解得.

（3）解：由（2）得直線的斜率為，又∵，

∴直線的方程為，即.

又圓心到直線的距離，所以直線與圓相離.

設動圓圓心為，當圓心到圓心的距離最小時，動圓的半徑最小，

此時圓心為過點且與垂直的直線與的交點，且動圓半徑的最小值為.

又過點與垂直的直線方程為，即.

解方程組，得.

即圓心為.

∴所求圓的標準方程為.