Question

【題目】定義區(qū)間[x1 ， x2]長度為x2﹣x1（x2＞x1），已知函數(shù)f（x）= （a∈R，a≠0）的定義域與值域都是[m，n]，則區(qū)間[m，n]取最大長度時(shí)a的值是 ．

Answer 1

【答案】3
【解析】解：函數(shù)f（x）= （a∈R，a≠0）的定義域是{x|x≠0}，則[m，n]是其定義域的子集， ∴[m，n]（﹣∞，0）或（0，+∞）．
f（x）= = 在區(qū)間[m，n]上時(shí)增函數(shù)，則有： ，
故m，n是方程f（x）= =x的同號相異的實(shí)數(shù)根，
即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同號相異的實(shí)數(shù)根．
那么mn= ，m+n= ，只需要△＞0，
即（a2+a）2﹣4a2＞0，解得：a＞1或a＜﹣3．
那么：n﹣m= = ，
故n﹣m的最大值為 ，此時(shí) ，解得：a=3．
即在區(qū)間[m，n]的最大長度為 ，此時(shí)a的值等于3．
所以答案是3．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的定義域及其求法的相關(guān)知識，掌握求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：①是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零，以及對函數(shù)的值域的理解，了解求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小（大）數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的．