Question

一位游客欲參觀上海世博會中甲、乙、丙這3個展覽館，又該游客參觀甲、乙、丙這3個展覽館的概率分別是0.4，0.5，0.6，且是否參觀哪個展覽館互不影響．設ξ表示該游客離開上海世博會時參觀的展覽館數與沒有參觀的展覽館數之差的絕對值．
（Ⅰ）求ξ的概率分布及數學期望；
（Ⅱ）記“函數f（x）=x²-3ξx+1在區間[2，+∞）上單調遞增”為事件A，求事件A的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求ξ的概率分布，由于ξ的可能取值為1，3．故只要利用相互獨立事件的概率公式，分別求出這兩個值的概率即可；最后再利用數學期望的計算公式求解即可．
（Ⅱ）先計算出事件A對應的ξ的值，再利用（I）中分布表求出其概率即可．

解答：解：（Ⅰ）分別記“客人參觀甲展覽館”，“客人參觀乙展覽館”，
“客人參觀丙展覽館”為事件A₁，A₂，A₃．由已知A₁，A₂，A₃相互獨立，
P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.6．
客人參觀的展覽館數的可能取值為0，1，2，3．
相應地，客人沒有參觀的展覽館數的可能取值為3，2，1，0，所以ξ的可能取值為1，3．
P（ξ=3）=P（A₁•A₂•A₃）+P（

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）+P（

.

A1

)P(

.

A2

)P(

.

A3

)）
=2×0.4×0.5×0.6=0.24，P（ξ=1）=1-0.24=0.76，所以ξ的概率分布表為
（5分）
∴Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48（6分）
（Ⅱ）因為f(x)=(x-

3

2

ξ)2+1-

9

4

ξ2，
所以函數f（x）=x²-3ξx+1在區間[

3

2

ξ，+∞)上單調遞增，
要使f（x）在[2，+∞）上單調遞增，當且僅當

3

2

ξ≤2，即ξ≤

4

3

.
從而P(A)=P(ξ≤

4

3

)=P(ξ=1)=0.76（10分）

點評：本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式、離散型隨機變量及其分布列及離散型隨機變量的期望與方差，屬于基礎題．