Question

已知△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos2

B

2

=

3

sinB，b=1
（1）若A=

5π

12

，求邊c的大小；
（2）若a=2c，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）將已知等式左邊利用二倍角的余弦函數公式化簡，變形后再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，根據特殊角的三角函數值求出B的度數，再由A的度數，利用三角形的內角和定理即可求出C的度數，由sinB，sinC及b的值，利用正弦定理即可求出c的值；
（2）由B的度數，求出sinB及cosB的值，利用余弦定理得到b²=a²+c²-2accosB，將b=1，a=2c及cosB的值代入求出c的值，進而求出a的值，由a，c及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（1）∵2cos²

B

2

=

3

sinB，∴1+cosB=

3

sinB，
∴2（

3

2

sinB-

1

2

cosB）=1，即2sin（B-

π

6

）=1，
∴B-

π

6

=

π

6

或

5π

6

（舍），解得：B=

π

3

，（3分）
又A=

5π

12

，則C=

π

4

，
由正弦定理

c

sinC

=

b

sinB

，得c=

bsinC

sinB

=

6

3

；（6分）
（2）∵B=

π

3

，∴sinB=

3

2

，cosB=

1

2

，
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，
將b=1，a=2c，cosB=

1

2

代入，解得：c=

3

3

，則a=

2 3

3

，（8分）
則S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

×

2 3

3

×

3

3

sin

π

3

=

3

6

．（10分）

點評：此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函數公式，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．