Question

設平面向量

a

=(

3

sin(π+x)，2cosx)，

b

=（-2cosx，cosx），已知函數f（x）=

a

•

b

+m在[0，

π

2

]上的最大值為6．
（Ⅰ）求實數m的值；
（Ⅱ）若f(x0)=

26

5

，x0∈[

π

4

，

π

2

]．求cos2x₀的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件利用兩個向量的數量積公式、三角函數的恒等變換化簡函數f（x）=

a

•

b

+m的解析式為2sin(2x+

π

6

)+1+m，結合x的范圍，根據f（x）的最大值為6，求得m的值．
（Ⅱ）根據f（x）的解析式，利用條件求得cos(2x0+

π

6

)=-

4

5

，再根據cos2x0=cos[(2x0+

π

6

)-

π

6

]，利用兩角差的余弦公式求得結果．

解答：解：（Ⅰ）由題意可得函數f（x）=

a

•

b

+m=

3

sin(π+x)•(-2cosx)+2cos2x+m
=

3

sin2x+cos2x+1+m=2sin(2x+

π

6

)+1+m．
∵x∈[0，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴2sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，∴f（x）_max=2+1+m=6，
∴m=3．
（Ⅱ）因為f(x)=2sin(2x+

π

6

)+4，
由f(x0)=

26

5

得：2sin(2x0+

π

6

)+4=

26

5

，則sin(2x0+

π

6

)=

3

5

．
因為x0∈[

π

4

，

π

2

]，則2x0+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，
因此cos(2x0+

π

6

)＜0，所以cos(2x0+

π

6

)=-

4

5

，
于是cos2x0=cos[(2x0+

π

6

)-

π

6

]=cos(2x0+

π

6

)cos

π

6

+sin(2x0+

π

6

)sin

π

6

=-

4

5

×

3

2

+

3

5

×

1

2

=

3-4 3

10

．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，三角函數的恒等變換，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．