Question

（A）若不等式|x+1|-|x-4|≥a+

4

a

，對(duì)任意的x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（-∞，4]∪[-1，0）

（B）已知直線l：

x=a+2t y=-1-t

（t為參數(shù)），圓C：ρ=2

2

cos（θ-

π

4

）（極軸與x軸的非負(fù)半軸重合，且單位長度相同），若直線l被圓C截得弦長為2，則a=

5±

5

．

Answer 1

分析：（A）由于|x+1|-|x-4|的最小值為5，可得-5≥a+

4

a

，即

(a+1)(a+4)

a

≤0，由此求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（B）把直線l的參數(shù)方程化為普通方程，把圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用直線和圓的位置關(guān)系以及弦長2
求出a的值．

解答：解：（A）由于|x+1|-|x-4|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到4對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，其最小值等于-5，
由題意可得-5≥a+

4

a

，即

(a+1)(a+4)

a

≤0，解得a≤-4或-1≤a＜0，
故答案為（-∞，4]∪[-1，0）．
（B）直線l：

x=a+2t y=-1-t

（t為參數(shù)），即 x+2y-a+2=0．圓C：ρ=2

2

cos（θ-

π

4

），
即 ρ²=2

2

ρcos（θ-

π

4

）=2ρcosθ+2ρsinθ．
故圓C：（x-1）²+（y-1）²=2，表示以（1，1）為圓心，以

2

為半徑的圓．
 圓心到直線的距離d=

|1+2-a+2|

5

=

|a-5|

5

，
再由弦長2=2

r2-d2

=2

2- (a-5)2 5

，解得a=5±

5

，
故答案為 5±

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，分式不等式的解法，直線和圓的位置關(guān)系，把參數(shù)方程化為普通方程的方法，
把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，屬于中檔題．