Question

A．若不等式|x-1|+|x-m|＜2m的解集為∅，則m的取值范圍為

（-∞，

1

3

]

．
B．如圖，PA切圓O于點A，割線PBC經過圓心O，OB=PB=1，OA繞點O逆時針旋轉60°到OD，則PD的長為

7

．
C．直線3x-4y-1=0被曲線

x=2cosθ y=1+2sinθ

（θ為參數）所截得的弦長為

2

3

．

Answer 1

分析：A，由絕對值的幾何意義可得f（x）=|x-1|+|x-m|的最小值為|m-1|，依題意，對m分m≤0與m＞0討論解決即可；
B，由題意可知，在△POD中，OD=1，OP=2，∠POD=120°，利用余弦定理即可求得PD的長；
C，將曲線（圓）的參數方程

x=2cosθ y=1+2sinθ

（θ為參數）化為標準方程，利用點到直線的距離公式可求得圓心（0，1）到直線3x-4y-1=0的距離為1，利用弦長之半，弦心距與圓的半徑構成的直角三角形可求得截得的弦長．

解答：解：A，令f（x）=|x-1|+|x-m|，則f（x）_min=|m-1|，
∵|x-1|+|x-m|＜2m的解集為∅，
∴當m≤0時，滿足題意；
當m＞0時，|m-1|≥2m＞0，
解得0＜m≤

1

3

；
綜上所述，m≤

1

3

．
∴m的取值范圍為（-∞，

1

3

]；
B，依題意可知，OA⊥PA，在Rt△OAP中，OA=1，OP=2，
∴∠AOP=60°，
∴在△DOP中，∠DOP=120°，又OD=1，OP=2，
∴由余弦定理得PD²=OD²+OP²-2OD•OPcos∠DOP
=1+4-2×1×2×（-

1

2

）
=7，
∴PD=

7

；
C，由圓的參數方程消掉參數可得其標準方程為：x²+（y-1）²=4，
∴該曲線是以C（0，1）為圓心，半徑R=2的圓；設圓心C到直線3x-4y-1=0的距離為d，該直線與圓C相交的弦長為l，
則d=

|3×0-4×1-1|

5

=1，
由弦心距，弦長之半，與該圓的半徑組成直角三角形可知，

l

2

=

R2-d2

=

3

，
∴l=2

3

．
故答案為：（-∞，

1

3

]；

7

；2

3

．．

點評：本題A考查絕對值不等式，B考查與圓有關的比例線段，C考查圓的參數方程，考查分析轉化與運算能力，屬于基礎題．