Question

某公司生產一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數：R（x）=

400x- 1 2 x2，0≤x≤400 80000，x＞400

，其中x是儀器的月產量．（注：總收益=總成本+利潤）
（1）將利潤x表示為月產量x的函數；
（2）當月產量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？

Answer 1

考點：函數模型的選擇與應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據利潤=收益-成本，由已知分兩段當0≤x≤400時，和當x＞400時，求出利潤函數的解析式；
（2）根據分段函數的表達式，分別求出函數的最大值即可得到結論．

解答： 解：（1）由于月產量為x臺，則總成本為20000+100x，
從而利潤f（x）=

300x- 1 2 x2-20000， 0≤x≤400 60000-100x， x＞400

；
（2）當0≤x≤400時，f（x）=300x-

1

2

x2-20000=-

1

2

（x-300）²+25000，
∴當x=300時，有最大值25000；
當x＞400時，f（x）=60000-100x是減函數，
∴f（x）=60000-100×400＜25000．
∴當x=300時，有最大值25000，
即當月產量為300臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是25000元．

點評：本題主要考查函數的應用問題，根據條件建立函數關系，利用分段函數的表達式結合一元二次函數的性質求出函數的最值是解決本題的關鍵．