Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當時，求證：函數恰有兩個零點.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）求函數導數，即可得結論；

（2）先求出，結合定義域轉化為證明有兩個零點，利用導數求出單調區間，按零點存在性定理證明，即可得出結論.

解：（1）當時，，，

，故，

故所求切線的方程為：，即.

（2），，

因為，所以只需證明在已知條件下，

恰有兩個零點即可.

由，

則，

當時，；當時，.

所以在區間內單調遞增，在區間內單調遞減，

因為，故，所以，

記，則，

所以單調遞增，

故時，，

即，，所以，即，

又，

由，，且在區間內單調遞增，可得，

存在唯一，即，使得，

又在區間內單調遞減，，，

故恰有兩個零點，

所以，時，函數恰有兩個零點.