Question

設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（1，

3

2

），F₁、F₂分別為橢圓C的左、右兩個焦點，且離心率e=

1

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知O為坐標原點，直線l過橢圓的右焦點F₂與橢圓C交于M、N兩點．若OM、ON 的斜率k₁，k₂滿足k₁+k₂=-3，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由橢圓的離心率e=

1

2

，得橢圓方程為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1，把點（1，

3

2

）代入，能求出橢圓的方程．
（2）設直線l為y=k（x-1），代入橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出直線MN的方程．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點（1，

3

2

），
F₁、F₂分別為橢圓C的左、右兩個焦點，且離心率e=

1

2

，
∴

c

a

=

1

2

，∴a=2c，∴b²=a²-c²=3c²，
∴橢圓方程為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1．…（2分）
把點（1，

3

2

）代入橢圓，得

1

4c2

+

( 3 2 )

3c2

=1，解得c²=1．
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（2）若直線l斜率不存在，k1 +k2=0不合題意，
∴直線l的斜率存在．…（5分）
設直線l為y=k（x-1），代入橢圓方程

x2

4

+

y2

3

=1，
得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．…（7分）
依題意△=9k²+9＞0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=

2k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

．…（8分）
∵k₁+k₂=-3，
∴k₁+k₂=

y1

x1

+

y2

x2

=k（

x1-1

x1

+

x2-1

x2

）
=k（2-

x1+x2

x1x2

）
=k（2-

2k2

k2-3

）=-3．…（10分）
整理，得k²-2k-3=0，解得k=3或k=-1．
∴所求直線MN的方程為3x-y-3=0或x+y-1=0．…（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時要認真審題，注意韋達定理的靈活運用．