Question

如右圖，簡單組合體ABCDPE，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC.
(1)若N為線段PB的中點，求證：EN⊥平面PDB；
(2)若＝，求平面PBE與平面ABCD所成的銳二面角的大小.

Answer 1

（1）見解析；（2）45°.

本試題主要考查了下年垂直的判定和二面角的求解。第一問中
要證線面垂直，利用線面垂直的判定定理可以得到。第二問中，利用＝，以點D為坐標原點，以AD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系為平面PBE的法向量.
為平面ABCD的法向量，利用向量的夾角公式得到結論
解：(1)證法1：連結AC與BD交于點F，連結NF，
∵F為BD的中點，∴NF∥PD且NF＝PD.
又EC∥PD，且EC＝PD，(2分)
∴NF∥EC，且NF＝EC，∴四邊形NFCE為平行四邊形，
∴NE∥FC.(4分)
∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC?面ABCD，∴AC⊥PD.
又PD∩BD＝D，∴AC⊥面PBD，∴NE⊥面PDB.(6分)
證法2：以點D為坐標原點，以AD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如圖所示：設該簡單組合體的底面邊長為1，PD＝a，

則B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0，a)，E(0,1，)，N(，，)，
∴＝(，－，0)，＝(1,1，－a)，＝(1,1,0).
∵·＝×1－×1－a×0＝0，
·＝×1－×1＋0×0＝0，
∴EN⊥PB，EN⊥DB.
∵PB、DB?面PDB，且PB∩DB＝B，∴NE⊥面PDB.(6分)
(2)解法1：連結DN，由(1)知NE⊥面PDB，∴DN⊥NE.
∵＝，DB＝AD，∴PD＝DB，∴DN⊥PB，∴為平面PBE的法向量.
設AD＝1，則N(，，)，∴＝(，，).
∵為平面ABCD的法向量，＝(0,0，)，(10分)
設平面PBE與平面ABCD所成的二面角為θ，則cosθ＝＝＝，
∴θ＝45°，即平面PBE與平面ABCD所成的銳二面角為45°.(12分)
解法2：延長PE與DC的延長線交于點G，連結GB，
則GB為平面PBE與平面ABCD的交線.(8分)

∵PD＝2EC，∴CD＝CG＝CB，
∴D、B、G在以C為圓心、以BC為半徑的圓上，
∴DB⊥BG.(9分)
∵PD⊥平面ABCD，BG?面ABCD，
∴PD⊥BG，且PD∩DB＝D，∴BG⊥面PDB.
∵PB?面PDB，∴BG⊥PB，
∴∠PBD為平面PBE與平面ABCD所成的銳二面角的平面角.(10分)
在Rt△PDB中，∵PD＝DB，
∴∠PBD＝45°，即平面PBE與平面ABCD所成的銳二面角為45°.(12分)