Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC平行于弦AD，OA=2．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）求AD•OC的值；
（3）若AD+OC=9，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由BC是⊙O的切線得到∠B=90°，然后證明△OCD≌△OCB，得到∠ODC=90°，
（2）根據題干條件證明△ADB∽△ODC，得到AD•OC的值，
（3）在Rt△ODC中，利用勾股定理即可解得CD的長．

解答：證明：（1）連接OD
∵BC是⊙O的切線，
∴∠B=90°
∵AD∥OC
∴∠1=∠3，∠2=∠4
∵OA=OD
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠4
∵OB=OD，OC=OC
∴△OCD≌△OCB
∴∠ODC=90°
∴DC是⊙O的切線；
（2）連接BD，
∵△ADB∽△ODC

AD

OD

=

AB

OC

，
∴AD•OC=OD•AB=8．
（3）由（2）得AD•OC=8，與AD+OC=9聯立解得AD=1，OC=8或AD=8，OC=1
由題意知，AD小于OC，
∴AD=1，OC=8符合題意
∴CD=

82-22

=2

15

．

點評：本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．