Question

【題目】已知f（n）=1+ + + +…+ ，g（n）= ﹣ ，n∈N* ．
（1）當(dāng)n=1，2，3時(shí)，試比較f（n）與g（n）的大小關(guān)系；
（2）猜想f（n）與g（n）的大小關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；

當(dāng)n=2時(shí)， ， ，

所以f（2）＜g（2）；

當(dāng)n=3時(shí)， ， ，

所以f（3）＜g（3）

（2）解：由（1），猜想f（n）≤g（n），下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明：

①當(dāng)n=1，2，3時(shí)，不等式顯然成立．

②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)不等式成立，

即即 + +…+ ＜ ，

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)， ，

因?yàn)? ，

所以 ．

由①、②可知，對一切n∈N*，都有f（n）≤g（n）成立

【解析】（1）根據(jù)已知 ， ，n∈N* ． 我們易得當(dāng)n=1，2，3時(shí)，兩個函數(shù)函數(shù)值的大小，比較后，根據(jù)結(jié)論我們可以歸納推理得到猜想f（n）≤g（n）；（2）但歸納推理的結(jié)論不一定正確，我們可用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，先證明不等式f（n）≤g（n）當(dāng)n=1時(shí)成立，再假設(shè)不等式f（n）≤g（n）當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)成立，進(jìn)而證明當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式f（n）≤g（n）也成立，最后得到不等式f（n）≤g（n）對于所有的正整數(shù)n成立；