Question

設O、A、B是平面內不共線的三點，記

OA

=

a

， 

OB

=

b

，若P為線段AB垂直平分線上任意一點，且

OP

=

p

，當|

a

|=2，|

b

|=1時，則

p

•(

a

-

b)

等于（　　）

• A．3
• B．0
• C．

  5

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：設M是AB的中點，將向量

OP

表示成

OM

+

MP

，而

OA

-

OB

=

BA

，從而

OP

•(

OA

-

OB

)=

OM

•

BA

+

MP

•

BA

，再結合P為線段AB垂直平分線上任意一點，得

MP

•

BA

=0，轉化為求數量積

OM

•

BA

，再用

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)，

OA

-

OB

=

BA

代入，得

OP

•(

OA

-

OB

)=

1

2

(|

OA

| 2-|

OB

| 2)，結合已知條件的數據，不難得出這個數量積．

解答：解：設M是線段AB的中點，根據題意，得

OP

=

OM

+

MP

，

OA

-

OB

=

BA

∴

OP

•(

OA

-

OB

)=(

OM

+

MP

)•

BA

=

OM

•

BA

+

MP

•

BA

∵

MP

與

BA

互相垂直
∴

MP

•

BA

=0
因此

OP

•(

OA

-

OB

)=

OM

•

BA

又∵△OAB中，OM是AB邊上的中線
∴

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)
∴

OM

•

BA

=

1

2

(

OA

+

OB

) •

BA

=

1

2

(

OA

+

OB

)(

OA

-

OB

)
即

OM

•

BA

=

1

2

(|

OA

| 2-|

OB

| 2)
∵|

OA

|=2，|

OB

|=1，
∴

OP

•(

OA

-

OB

)=

OM

•

BA

=

1

2

(22-12)=

3

2

故選D．

點評：本題考查了平面向量數量積的運算，著重考查了數量積在三角形中的應用，考查轉化思想，計算能力，是中檔題．