Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=BC=2，∠DAC=∠ABC=90°，．
（Ⅰ）證明：AD⊥PC；
（Ⅱ）求PD與平面PBC所成角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥AD
∵∠DAC=90°，∴AD⊥AC
∵PA∩AC=A
∴AD⊥平面PAC
∵PC?平面PAC
∴AD⊥PC
（Ⅱ）解：建立如圖所示空間直角坐標系A-xyz，則P（0，0，2），D（-1，1，0），B（2，0，0），C（2，2，0）
∴，，
設平面PBC的法向量為=（x，y，z），由，可得，取
則…（11分）
∴PD與平面PBC所成的角為． …（12分）
分析：（Ⅰ）證明線線垂直，可證線面垂直，即AD⊥平面PAC；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求得，平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得PD與平面PBC所成的角為．
點評：本題考查線線垂直，考查線面角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定，正確利用向量法求解線面角．