Question

已知圓C：(x－1)²＋(y－2)²=2，點P(2，－1)，過P點作圓C的切線PA、PB，A、B為切點.

(1)求PA、PB所在直線的方程；

(2)求切線長|PA|；

(3)求∠APB的正弦值；

(4)求AB的方程.

Answer 1

解:(1)設切線的斜率為k.

∵切線過點P(2，－1),

∴切線的方程為y＋1=k(x－2),即kx－y－2k－1=0.

又C(1，2)，半徑r=，

由點到直線的距離公式得=.

解之得k=7或k=－1.

故所求切線PA、PB的方程分別是x＋y－1=0和7x－y－15=0.

(2)連結AC、PC，則AC⊥AP.

在Rt△APC中，|AC|=,|PC|==,

∴|PA|===2.

(3)連結CB，則CB⊥BP.

由△APC≌△BPC知,∠APC=∠BPC,∴∠APB=2∠APC.

∴sin∠APB=sin2∠APC=2sin∠APC·cos∠APC=2××=.

(4)解法一:A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，

則(x₁－1)²＋(y₁－2)²=2，(x₂－1)²＋(y₂－2)²=2.

∵CA⊥AP，∴k_CA·k_AP=－1，即·=－1.

∴(y₁－2)(y₁＋1)=－(x₁－1)(x₁－2).

變形得(y₁－2)(y₁－2＋3)=－(x₁－1)(x₁－1－1),

(y₁－2)²＋3(y₁－2)=－(x₁－1)²＋(x₁－1),

(x₁－1)²＋(y₁－2)²＋3(y₁－2)－(x₁－1)=0.

∵(x₁－1)²＋(y₁－2)²=2,

∴上式可化簡為x₁－3y₁＋3=0.

同理可得x₂－3y₂＋3=0.

∵A、B兩點的坐標都滿足方程x－3y＋3=0，

∴直線AB的方程是x－3y＋3=0.

解法二:∵∠CAP=∠CBP=90°,

∴A、B兩點在以CP為直徑的圓上.

CP的中點坐標為(，)，即(，)，

又|CP|=,

∴以CP為直徑的圓的方程為(x－)²＋(y－)²=()²,

即x²＋y²－3x－y=0.                                                                                                  ①

又圓C:(x－1)²＋(y－2)²=2的一般方程為

x²＋y²－2x－4y＋3=0,                                                                                                ②

②－①得x－3y＋3=0為直線AB的方程.

點評:凡與圓的切線有關的題目，常用切線與過切點的半徑垂直這一性質解題.因此，求切線的方程可用點到直線的距離公式；求切線長可用勾股定理；求兩切點所在直線的方程，方法有三：一是設而不求法,二是兩式相減法,三是求出A、B兩點的坐標，應用兩點間的距離公式.例題中選擇了前兩種方法供借鑒.