Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在上無極值點(diǎn)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，不等式恒成立.

Answer 1

【答案】(1) 當(dāng)或時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，

單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，

單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

(2)見解析.

【解析】分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，由無極值點(diǎn)，得 （或恒成立，從而得，于是的，再求出導(dǎo)數(shù)，通過研究的根的情況得出（）的解集，從而得的單調(diào)性；

（2）利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)可證，又在時(shí)，，因此要證題中不等式成立，只要證，這可由二次函數(shù)的性質(zhì)得證.

詳解：（1）

，

因?yàn)楹瘮?shù)在上沒有極值點(diǎn)，所以有，解得，

此時(shí)，

則，

，

(i)當(dāng)時(shí)，在上，單調(diào)遞減，

在上，單調(diào)遞增，

（ii）當(dāng)時(shí)，令方程的，解得或

①當(dāng)時(shí)，在上，函數(shù)單調(diào)遞增，

②當(dāng)時(shí)，在上，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)，即且時(shí)，方程的兩根為，

③當(dāng)時(shí)，， 當(dāng) ，

，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，， 單調(diào)遞增，

④當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，

，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，， 單調(diào)遞減.

綜上所述：當(dāng)或時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，

單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，

單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）解：令，令，可得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，

所以，即，

因?yàn)?/span>，所以，

又當(dāng)時(shí)，，事實(shí)上.

要證原不等式成立，只需證明不等式，即.

事實(shí)上，令.

因?yàn)?/span>，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以，

令，關(guān)于在上單調(diào)遞減，所以

所以.

所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的，

不等式恒成立.