Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，它的一個頂點恰好是拋物線y= x2的焦點，離心率等于 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若 =λ1 ， ，求證：λ1+λ2為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓C的方程為 ，則由題意知b=1．∴ ．∴a2=5．

∴橢圓C的方程為

（2）解：設A、B、M點的坐標分別為A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y0）．

又易知F點的坐標為（2，0）．

顯然直線l存在的斜率，設直線l的斜率為k，則直線l的方程是y=k（x﹣2）．

將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得（1+5k2）x2﹣20k2x+20k2﹣5=0．∴ ．

又∵ ．∴

【解析】（1）根據橢圓C的一個頂點恰好是拋物線 的焦點，離心率等于 ．易求出a，b的值，得到橢圓C的方程．（2）設A、B、M點的坐標分別為A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），設直線l的斜率為k，則直線l的方程是y=k（x﹣2），然后采用“聯立方程”+“設而不求”+“韋達定理”，結合已知中 ， ，求出λ1+λ2值，即可得到結論．
【考點精析】本題主要考查了橢圓的標準方程的相關知識點，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．