Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= （m∈Z）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上為增函數(shù)．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）﹣ax]（a＞0且a≠1），是否存在實(shí)數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函數(shù) 在（0，+∞）上為增函數(shù)，

得到﹣2m2+m+3＞0

解得 ，又因?yàn)閙∈Z，

所以m=0或1．

又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是偶函數(shù)

當(dāng)m=0時，f（x）=x3，不滿足f（x）為偶函數(shù)；

當(dāng)m=1時，f（x）=x2，滿足f（x）為偶函數(shù)；

所以f（x）=x2

（2）解： ，令h（x）=x2﹣ax，

由h（x）＞0得：x∈（﹣∞，0）∪（a，+∞）

∵g（x）在[2，3]上有定義，

∴0＜a＜2且a≠1，∴h（x）=x2﹣ax在[2，3]上為增函數(shù)．

當(dāng)1＜a＜2時，g（x）max=g（3）=loga（9﹣3a）=2，

因?yàn)?＜a＜2，所以 ．

當(dāng)0＜a＜1時，g（x）max=g（2）=loga（4﹣2a）=2，

∴a2+2a﹣4=0，解得 ，

∵0＜a＜1，∴此種情況不存在，

綜上，存在實(shí)數(shù) ，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2

【解析】（1）由冪函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)且m∈Z求出m的值，然后根據(jù)函數(shù)式偶函數(shù)進(jìn)一步確定m的值，則函數(shù)的解析式可求；（2）把函數(shù)f（x）的解析式代入g（x）=loga[f（x）﹣ax]，求出函數(shù)g（x）的定義域，由函數(shù)g（x）在區(qū)間[2，3]上有意義確定出a的范圍，然后分類討論使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2的a的值．
【考點(diǎn)精析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和奇偶性與單調(diào)性的綜合對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．