Question

【題目】如圖所示，已知焦點為的拋物線上有一動點，過點作拋物線的切線交軸于點.

（1）判斷線段的中垂線是否過定點，若是求出定點坐標，若不是說明理由；

（2）過點作的垂線交拋物線于另一點，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）存在，過定點；（2）.

【解析】

（1）設直線的方程為與拋物線方程聯立方程組，消元后由判別式為0得，這樣可用表示出點坐標，從而也可得點坐標，然后求出中垂線方程后可得定點；

（2）在（1）基礎上，求出方程，與拋物線方程聯立求得點坐標后，計算出，，從而得面積為的函數，其中，利用導數可求得其最小值．

（1）設直線的方程為和拋物線方程聯立得：，

由，得，則的解為，由得，，得，在中令得，所以，

中點為，所以線段的中垂線方程為，

所以線段的中垂線過定點.

（2）直線的方程為和拋物線方程聯立得：

，，

，.

所以的面積為，，

時，，單調遞減，時，，單調遞增，

所以時，.