Question

已知點P₁（x，y）為雙曲線（b為正常數）上任一點，F₂為雙曲線的右焦點，過P₁作右準線的垂線，垂足為A，連接F₂A并延長交y軸于P₂．
（1）求線段P₁P₂的中點P的軌跡E的方程；
（2）設軌跡E與x軸交于B、D兩點，在E上任取一點Q（x₁，y₁）（y₁≠0），直線QB，QD分別交y軸于M，N兩點．求證：以MN為直徑的圓過兩定點．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得，則直線F₂A的方程為：，令x=0得P₂（0，9y），設P（x，y），則，由此能求出P的軌跡E的方程．
（2）在中，令y=0得x²=2b²，設，直線QB的方程為：，直線QD的方程為：，則M（0，），N（0，），由此能導出以MN為直徑的圓過兩定點（-5b，0），（5b，0）．
解答：解：（1）由已知得，則直線F₂A的方程為：，
令x=0得y=9y，即P₂（0，9y），
設P（x，y），則，即代入得：，
即P的軌跡E的方程為．
（2）在中令y=0得x²=2b²，則不妨設，
于是直線QB的方程為：，∴直線QD的方程為：，
則M（0，），N（0，），
則以MN為直徑的圓的方程為：，
令y=0得：，而Q（x₁，y₁）在上，則，
于是x=±5b，即以MN為直徑的圓過兩定點（-5b，0），（5b，0）．
點評：本題考查軌跡方程的求法和求證以MN為直徑的圓過兩定點．解題時要要認真審題，熟練掌握圓錐曲線的性質，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．