Question

已知點(diǎn)P₁（x，y）為雙曲線（b為正常數(shù)）上任一點(diǎn)，F(xiàn)₂為雙曲線的右焦點(diǎn)，過P₁作右準(zhǔn)線的垂線，垂足為A，連接F₂A并延長交y軸于P₂．
（1）求線段P₁P₂的中點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（2）設(shè)軌跡E與x軸交于B、D兩點(diǎn)，在E上任取一點(diǎn)Q（x₁，y₁）（y₁≠0），直線QB，QD分別交y軸于M，N兩點(diǎn)．求證：以MN為直徑的圓過兩定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得，則直線F₂A的方程為：，令x=0得P₂（0，9y），設(shè)P（x，y），則，由此能求出P的軌跡E的方程．
（2）在中，令y=0得x²=2b²，設(shè)，直線QB的方程為：，直線QD的方程為：，則M（0，），N（0，），由此能導(dǎo)出以MN為直徑的圓過兩定點(diǎn)（-5b，0），（5b，0）．
解答：解：（1）由已知得，則直線F₂A的方程為：，
令x=0得y=9y，即P₂（0，9y），
設(shè)P（x，y），則，即代入得：，
即P的軌跡E的方程為．
（2）在中令y=0得x²=2b²，則不妨設(shè)，
于是直線QB的方程為：，∴直線QD的方程為：，
則M（0，），N（0，），
則以MN為直徑的圓的方程為：，
令y=0得：，而Q（x₁，y₁）在上，則，
于是x=±5b，即以MN為直徑的圓過兩定點(diǎn)（-5b，0），（5b，0）．
點(diǎn)評：本題考查軌跡方程的求法和求證以MN為直徑的圓過兩定點(diǎn)．解題時(shí)要要認(rèn)真審題，熟練掌握圓錐曲線的性質(zhì)，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．