Question

已知a，b∈R⁺，且方程x²-（3a+2b-6）x+a+b-3=0的兩根分別為一個(gè)橢圓和一個(gè)雙曲線(xiàn)的離心率，則3a+b的取值范圍為（　　）

• A、（0，6）
• B、（4，+∞）
• C、（0，5）
• D、（5，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先，確定所給方程的根的分布，然后根據(jù)橢圓和雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍，畫(huà)出可行域，從而確定3a+b的取值范圍．

解答： 解：∵方程x²-（3a+2b-6）x+a+b-3=0的兩根分別為
一個(gè)橢圓和一個(gè)雙曲線(xiàn)的離心率，
∴方程有兩個(gè)正實(shí)根，且一個(gè)根比1大，一個(gè)根比1小．
設(shè)函數(shù)f（x）=x²-（3a+2b-6）x+a+b-3，
則

x1+x2＞0 x1•x2＞0 f(1)＜0

，
∴

3a+2b-6＞0 a+b-3＞0 2a+b-4＞0

，且a，b∈R⁺，
對(duì)應(yīng)的可行域如下圖所示：
設(shè)z=3a+b，
顯然，過(guò)點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)z有最小值4，
故z∈（4，+∞）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了方程的根分布、橢圓的離心率及其性質(zhì)、雙曲線(xiàn)的離心率及其性質(zhì)、線(xiàn)性規(guī)劃等知識(shí)，屬于中檔題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解線(xiàn)性規(guī)劃思想在解題中的靈活運(yùn)用．