Question

過點(diǎn)P（-2，1）引拋物線y²=4x的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，則直線PF與直線AB的斜率之和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先確定F點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線PF斜率k_PF，再求出兩個(gè)切點(diǎn)AB的坐標(biāo)，求出直線AB斜率k_AB，相加可得答案．

解答： 解：∵拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)P（-2，1），
故直線PF斜率k_PF=

1

-2-1

=-

1

3

，
設(shè)點(diǎn)P（-2，1）與拋物線y²=4x相切的直線為：x+2=m（y-1），
則y²=4（my-m-2），即y²-4my+4m+8=0的△=16m²-16m-32=0，
解得：m=-1，或m=2，
當(dāng)m=-1時(shí)，方程y²-4my+4m+8=0可化為y²+4y+4=0，解得：y=-2，代入y²=4x得：x=1，
當(dāng)m=2時(shí)，方程y²-4my+4m+8=0可化為y²-8y+16=0，解得：y=4，代入y²=4x得：x=4，
即A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為：（1，-2），（4，4），
故直線AB斜率k_AB=

4+2

4-1

=2，
故直線PF與直線AB的斜率之和為2-

1

3

=

5

3

，
故答案為：

5

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的簡單性質(zhì)，直線的斜率，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．