Question

【題目】（1）證明函數在區間上單調遞增；

（2）證明函數在(-π，0)上有且僅有一個極大值點且

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析

【解析】

（1）求出函數導數，根據導數正負性判斷單調性即可證明.

（2）根據（1）已有信息，對函數進行二次求導，判斷單調性及函數的零點，綜合分析，再利用定義域計算函數值的取值范圍，即可得證.

（1）對函數求導，得，

因為任意的,有，且在區間上，

所以

即，

即函數在區間上單調遞增.

（2）對函數求導，得

，

令，則

當時，由（1）知，，則

故在上單調遞減

而

由零點存在定理知：存在唯一的，使得，

即

當時，，即，為增函數；

當時，，即，為減函數.

又當時，

所以在上恒為減函數，

因此有唯一的極大值點

由在上單調遞減，

故

即

又當時，

故

綜上，函數在(-π，0)上有且僅有一個極大值點且