Question

【題目】如圖，三棱錐中，平面

，，。分別為線段上的點，且。

(1)證明：平面；

(2)求二面角的余弦值。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）要證線面垂直，就是要證線線垂直，題中由平面，可知，再分析已知由得，這樣與垂直的兩條直線都已找到，從而可得線面垂直；（2）求二面角的大小，可心根據定義作出二面角的平面角，求出這個平面角的大小，本題中，由于，平面，因此兩兩垂直，可以他們為軸建立空間直角坐標系，寫出圖中各點的坐標，求出平面和平面的法向量，向量的夾角與二面角相等或互補，由此可得結論．

試題解析：（1）證明：由PC平面ABC，DE平面ＡＢＣ，故PCDE

由CE＝２，CD=DE＝得ＣＤＥ為等腰直角三角形，故CDDE

由PCCD=C，DE垂直于平面PCD內兩條相交直線，故DE平面PCD

（2）解：由（１）知，CDE為等腰直角三角形，DCE＝，如（１９）圖，過點Ｄ作DF垂直CE于Ｆ，易知DF＝FC＝EF＝１，又已知EB＝１，

故FB＝２．

由ACB＝得DFAC，，故AC＝DF＝．

以Ｃ為坐標原點，分別以的方程為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則Ｃ（0,0,0,），Ｐ（0,0,3），Ａ（,0,0）,Ｅ（0,2,0），Ｄ（1,1,0），

設平面的法向量，

由，，

得.

由（1）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量可取為,即.

從而法向量，的夾角的余弦值為，

故所求二面角A-PD-C的余弦值為.