Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，a_n+1=ca_n³+1-c，c∈N*，其中c為實(shí)數(shù)。
（1）證明：a_n∈[0，1]對(duì)任意n∈N*成立的充分必要條件是c∈[0，1]；
（2）設(shè)0＜c＜，證明：a_n≥1-（3c）^n-1，n∈N*；
（3）設(shè)0＜c＜，證明：，n∈N*。

Answer 1

解：（1）必要性：∵，
又∵，
∴，
即
充分性：設(shè)，對(duì)任意用數(shù)學(xué)歸納法證明
當(dāng)時(shí)，
假設(shè)當(dāng)時(shí)，，
則，
且，
由數(shù)學(xué)歸納法知，對(duì)任意成立。
（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立；
當(dāng)時(shí)，∵，
∴
∵，由（1）知，
∴且，
∴，
∴。
（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立；
當(dāng)時(shí)，由（2）知，
∴
∴
。