【題目】已知函數
.
（1）當
時，解方程
.
（2）當
時，
恒成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）
；（2）
或
.
【解析】
（1）根據對數運算法則化簡原方程得
，再令
，則原方程化為
整理得
求解可得原方程的解，注意對數函數的定義域；
（2）由
化簡不等式為
，令，當
時，得
，所以當時，恒成立，等價于
在時恒成立，再令
，證明函數
在
上單調遞增，并得出在上的最值，建立關于
的不等式
，可得實數的取值范圍.
（1）當
時，
，
，
所以方程
化為
且
，即
且
，
，
所以
，即，
令，則原方程化為整理得，
解得
或
，即
或
，解得或
，當時，
，
，故舍去，
故原方程的解為：；
（2）由得
，即，
令，當時，，所以
，
所以當時，恒成立，等價于當時，
恒成立，即在時恒成立，
令，設
，
，
所以
，所以在上單調遞增，
所以
，所以
，所以，
解得或；
所以實數的取值范圍是或.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知圓O：
和點
，由圓O外一點P向圓O引切線
，Q為切點，且有
.
（1）求點P的軌跡方程，并說明點P的軌跡是什么樣的幾何圖形?
（2）求
的最小值；
（3）以P為圓心作圓，使它與圓O有公共點，試在其中求出半徑最小的圓的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分別是AB，BB1的中點.
（Ⅰ）證明： BC1//平面A1CD;
（Ⅱ）設AA1= AC=CB=2，AB=2
，求三棱錐C一A1DE的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在底面半徑為6的圓柱內，有兩個半徑也為6的球面，兩球的球心距為13，若作一個平面與兩個球都相切，且與圓柱面相交成一橢圓，則橢圓的長軸長為 ．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
，圓
.
（1）若直線
過點
且到圓心
的距離為
，求直線的方程；
（2）設過點
的直線
與圓交于
、
兩點（的斜率為負），當
時，求以線段
為直徑的圓的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖為某大河的一段支流，岸線
近似滿足
∥
寬度為7
圓
為河中的一個半徑為2
的小島，小鎮
位于岸線上，且滿足岸線
現計劃建造一條自小鎮經小島至對岸
的通道
（圖中粗線部分折線段，
在右側），為保護小島，
段設計成與圓相切，設
（1）試將通道的長
表示成
的函數，并指出其定義域.
（2）求通道的最短長.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在抗擊新型冠狀病毒肺炎期間，為響應政府號召，郴州市某單位組織了志愿者30人，其中男志愿者18人，用分層抽樣的方法從該單位志愿者中抽取5人去參加某社區的防疫幫扶活動．
（1）求從該單位男、女志愿者中各抽取的人數；
（2）從抽取的5名志愿者中任選2名談此活動的感受，求選出的2名志愿者中恰有1名男志愿者的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球
個.若從袋子中隨機抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是
.
（1）求的值；
（2）從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為
，第二次取出的小球標號為
.
①記“
”為事件
，求事件的概率；
②在區間
內任取2個實數
，
，求事件“
恒成立”的概率.
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