Question

【題目】已知二次函數f（x）=x2+bx+c，當x∈R時f（x）=f（2﹣x）恒成立，且3是f（x）的一個零點． （Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）設g（x）=f（ax）（a＞1），若函數g（x）在區間[﹣1，1]上的最大值等于5，求實數a的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由x∈R時f（x）=f（2﹣x）恒成立得函數的圖像關于直線x=1對稱；， ∴ =1．解得：b=﹣2
又v的一個零點，
∴9﹣6+c=0．解得：c=﹣3．
∴f（x）=x2﹣2x﹣3
（Ⅱ）設t=ax ， （a＞1），
∵x∈[﹣1，1]，
∴t∈[ ，a]
若f（a）=5，則由a2﹣2a﹣3=5得a=4，或a=﹣2（舍去），此時f（a）＞f（ ），符合題意；
若f（ ）=5，則可得a= （舍去），或a=﹣ （舍去），
∴a=4
【解析】（I）由已知可f（x）=f（2﹣x）恒成立，且3是f（x）的一個零點，求出b，c的值，可得函數f（x）的解析式；（Ⅱ）設t=ax（a＞1），由x∈[﹣1，1]，可得：t∈[ ，a]，結合函數g（x）在區間[﹣1，1]上的最大值等于5，分類討論，可得滿足條件的a值．
【考點精析】通過靈活運用函數的最值及其幾何意義和二次函數的性質，掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減即可以解答此題．